教育局有权查证休学的医院证明。分析：从法律角度看，教育局作为教育管理部门，对学生休学情况有监管职责。医院证明是休学的重要依据，其真实性直接影响学生的学籍管理和教育资源的分配。因此，教育局有权对医院证明进行核实，以确保休学申请的合法性和合理性。若证明存在虚假，将涉及法律责任。提醒：若教育局频繁质疑证明真实性，或要求提供额外繁琐的验证材料，可能表明问题较严重，应及时咨询律师以维护权益。
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处理方式：从法律角度，教育局查证休学医院证明的常见方式包括：直接联系医院核实、要求学生或家长提供额外医疗资料、以及必要时进行家访或实地调查。选择方式时，应考虑证明的复杂性和敏感性。若证明简单明了，直接联系医院核实即可；若涉及个人隐私或敏感疾病，应谨慎处理，避免过度干扰学生及家庭。
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具体操作：1.若教育局提出查证要求，首先应积极配合，提供医院证明原件或复印件，以及医生联系方式等，以便教育局核实。2.若证明涉及个人隐私，可要求教育局在核实过程中保护个人信息安全，避免泄露。3.若教育局对证明真实性仍有疑虑，可主动提供其他医疗资料，如病历、检查报告等，以辅助证明。4.在整个过程中，保持与教育局的沟通畅通，及时解释和澄清疑虑，避免误解和冲突。5.若教育局处理方式不当，侵犯了学生或家长的合法权益，可考虑通过法律途径维护权益，如咨询律师或向教育部门投诉。